xy^2y’=x^2+y^3 Дифферинциальное уравнение.

Вопрос школьника по предмету E2

xy^2y’=x^2+y^3
Дифферинциальное уравнение.

Готовый ответ эксперта-учителя

Умножим дифференциальное уравнение на интегрирующий множитель dfrac{1}{x^4}. Тогда уравнение примет вид

underbrace{dfrac{-y^3-x^2}{x^4}}_{M(x;y)}dy+underbrace{dfrac{y^2}{x^3}}_{N(x;y)}dy=0

Заметим, что M'_y(x;y)=-dfrac{3y^2}{x^4}=N'_x(x;y), т.е. дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Интегрируем функцию F сначала по х: F(x;y)=displaystyle int M(x;y)dx=intdfrac{-y^3-x^2}{x^4}dx=dfrac{y^3+3x^2}{3x^3}+C(y)

Теперь продифференцируем по переменной у:

F'_y(x;y)=dfrac{y^2}{x^3}+C'(y). Действительно, F'_y(x;y)=N(x;y)=dfrac{y^2}{x^3}.  Отсюда C'(y)=0~~~Rightarrow C(y)=0

dfrac{y^2+3x^2}{3x^3}=CОбщий интеграл:  

Ответить

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *